1.1 Momento angular de una partícula y de un sistema de partículas

1.1 Momento angular de una partícula y de un sistema de partículas

Momento angular de una particula: 

     Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv.

Comprendiendo esto tenemos la ecuación siguiente:

y gráficamente lo podemos visualizar de esta forma:

     Sus unidades son: m2kg/s. El vector L es en cada instante perpendicular al plano formado por el vector posición y el vector velocidad; cuando la trayectoria es plana y el origen está contenido en el plano de la misma, L es perpendicular a dicho plano.

Ejemplo:

Sea una varilla de masa M y longitud L, que tiene dos esferas de masa m y radio r simétrica-mente dispuestas a una distancia d del eje de rotación que es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio de la misma:

Momento angular de un sistema: 
  

El momento angular de un sistema de partículas se obtiene sumando los momentos angulares de todas y cada una de las partículas que componen el sistema.

Por ejemplo cuando un solido rígido tiene movimiento de rotación alrededor de un eje, cada una de sus partículas describe un movimiento circular. El momento angular del solido respecto del eje de rotación será la suma de los momentos angulares de todas sus partículas. Se puede representar de forma ilustrativa en la siguiente figura:

Entonces tenemos que en el movimiento circular el momeno angular es constante y toma el valor maximo.

Ejemplo:

Un automóvil de 1500 kg se mueve en una pista circular de 50 m de radio con una rapidez de 40 m/s. Calcula el momento angular del automóvil respecto del centro de pista.

Solución:

En el movimiento circular, los vectores r y v forman un Angulo de 90º. En este caso, el modulo de momento angular será:

Dirección perpendicular al plano Oxy, y de sentido positivo.

1.2 Torque externo. Respecto al centro de masas y al sistema de laboratorio

1.2 Torque externo. Respecto al centro de masas y al sistema de laboratorio

Torque externo:

     Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. Se prefiere usar el nombre torque y no momento, porque este último se emplea para referirnos al momento lineal, al momento angular o al momento de inercia, que son todas magnitudes físicas diferentes para las cuales se usa el mismo término.

     Podemos utilizar una situación es la de una moneda que hacemos girar rápidamente cuando le aplicamos en forma simétrica un par de fuerzas en los bordes. En este caso, si nos hemos preocupado de aplicar dos fuerzas iguales en magnitud y dirección pero de sentidos opuestos sobre el borde de la moneda, esta rotara en torno a un eje imaginario que atraviesa el cuerpo. 

 

En estas operaciones intervinieron la fuerza aplicada y su brazo de acción: distancia entre el punto de aplicación y el eje de giro, que son los dos parámetros que contiene el concepto de torque.

Cuando existe un par de fuerzas que actúan sobre puntos distintos de un sólido rígido (que no sufre deformación), existe lo que se denomina un torque y su efecto genera una aceleración angular sobre el cuerpo. El torque con respecto a un origen arbitrario O, es el producto vectorial entre el vector posición que une el punto de referencia O con el punto P y la fuerza ~F:

Respecto al centro de masas
El movimiento en torno al centro de masa se describe mediante la ecuación general del movimiento angular para un sistema de partículas donde τc es el torque externo neto ejercido sobre el sistema, medido con respecto al centro de masa y H c es el momento angular del sistema con respecto al centro de masa. 

Ejemplo del Torque:
Una tabla uniforme de 60 N sostiene a dos niños que pesan 450N y 350 N, el soporte está justo en el centro de gravedad de la tabla y el niño de 450 N esta a 1,4 m del centro, determinar:

a) La fuerza ascendente que el soporte ejerce sobre la tabla.

b) Donde debe estar el niño para equilibrar la tabla. 

Fa = 450N + 60N + 350 NSt = 0
450 x 1,4 – 350 x = 0
X = 1,8 m

Una viga horizontal uniforme de 300 N y de 5 m de longitud esta fija en un muro por la unión de un perno que permite que la viga gire: Su extremo está sostenida por un cable que forma un ángulo de 53° con la horizontal (ver figura). Si la persona está de pie a 1,5 m del muro, calcular la tensión del cable, la fuerza que ejerce sobre la viga.
 

Solución:

En primer lugar se deben identificar todas las fuerzas externas que actúan sobre la viga. Aplicando la primera condición de equilibrio_, tenemos:

_S F_x = F_mx _ T cos 53° = 0
_S F_y = F_my + T sen 53°  - 600N – 300N = 0

En las ecuaciones anteriores tenemos tres incógnitas, por lo tanto no podemos  encontrar las solución mediante la primera condición  de equilibrio por lo tanto usaremos ahora la segunda condición de equilibrio.

St = 0
St =  (T sen 53°)(5 m) – 300N) (2,5m)-(600 N) (1,5 m) = 0
T = 413 N, F_mx =249 N      F_my =570 N

1.3 Segunda Ley de Newton de la Dinámica del Cuerpo Rígido

1.3 Segunda Ley de Newton de la Dinámica del Cuerpo Rígido

Cuerpo Rigido

Un  cuerpo rígido es aquél en el que la distancia entre cualquier par de puntos permanece constante, es decir, es un cuerpo ideal cuyas dimensiones no cambian bajo ninguna circunstancia.

La segunda ley de newton provee la clave para el análisis del movimiento translacional de un cuerpo rígido. Tomando en cuenta la velocidad translacional del centro de masa v de un cuerpo con masa m, la resultante de las fuerzas que actúan sobre dicho centro de masas y producen una aceleración esta dada por:

F = m v

  
La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal . Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg·m/s . En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera:

La Fuerza que actua sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir 

F = d p /dt

De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de movimiento y que como se deriva un producto tenemos: 

F = d(m· v )/dt = m·d v /dt + dm/dt · v

Como la masa es constante 

dm/dt = 0

y recordando la definición de aceleración, nos queda 

F = m a

tal y como habiamos visto anteriormente.

Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la cantidad de movimiento . Si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos dice que: 

0 = d p /dt

es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo ( la derivada de una constante es cero ). Esto es el Principio de conservación de la cantidad de movimiento : si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo. 

Ejemplo:

Una fuerza F se ejerce directamente hacia arriba sobre el eje de la polea sin masa. Considere que la polea y el cable carecen de masa. Dos objetos, de masas m 1 = 1,2 kg m 2 = 1,9 kg, están unidos a los extremos opuestos del cable, el cual pasa por la polea. El objeto m 2 está en contacto con el piso. 

a) ¿Cuál es el valor más grande que la fuerza F puede tener de modo que m 2 permanezca en reposo sobre el piso?

b) ¿Cuál es la tensión en el cable cuando la fuerza F hacia arriba sea de 110 N? ¿Cuál es la aceleración de m 1 ?  

Solución:

Veamos el diagrama de cuerpo libre de la polea y de las dos masas. 

a) Para que m 2 permanezca en reposo sobre la superficie, debe ser mayor que m 1 . 
Fuerzas sobre m 2 :
m 1 g - T - N = 0 ,
pero N = 0 cuando está a punto de despegar. 
Luego: m 2 g - T = 0 (1) 
Fuerzas sobre m 1 :
T - m 1 g = m 1 a 1 (2),
donde es la aceleración con que sube . Aquí existe una aceleración, porque si la masa 2 tiene que estar en reposo y la cuerda es inextensible, obvio que la masa m1 se mueve. 
Fuerzas sobre la polea:
F - 2T = 0 (3) 
De la expresión (3) 
Reemplazando T en (1) queda
m 2 g - F/2 = 0 ; por lo tanto F = 2m 2 g (4) 
Reemplazando m 2 =1,9 kg y g=10m/s 2 queda F= 38N 
b) Calculo de la tensión del cable: 
Reemplazando F = 110 N en la expresión (3) :
110 - 2T = 0 , luego: T= 55N 
Calculo de a 1 : 
Reemplazando T , m 1 y g en (2) : 
55 - 12 = 1,2a 1 ,
luego : a 1 = 35,8 m/s 2 

1.4 Conservación del Movimiento Angular para un Sistema de Partículas

1.4 Conservación del Movimiento Angular para un Sistema de Partículas

Sea un móvil sometido a la acción de una fuerza central. Las fuerzas centrales son aquellas que están siempre dirigidas hacia un punto fijo 2. Con muy buena aproximación las interacciones gravitatorias entre el Sol y los planetas y entre los planetas y sus satélites son centrales. Las fuerzas electrostáticas entre cargas puntuales son centrales. Por lo tanto el movimiento de cuerpos sometidos a fuerzas centrales es un problema muy importante. Veamos sus propiedades.

Si referimos la posición al centro de la fuerza, una fuerza central se expresa como Fr = F (aquí F puede ser positiva o negativa) o sea que r y F son siempre paralelas (Fig. 7.5). Si tomamos momentos respecto del centro de fuerzas, MrF =×=0 y entonces de la (7.14) obtenemos

Luego en todo movimiento que se realiza bajo la acción de una fuerza central se conserva el momento angular. Este hecho tiene varias importantes consecuencias que pasaremos a analizar.

 

En un movimiento bajo la acción de una fuerza central se conserva el momento angular respecto del centro de la fuerza. 

2.1 Momento Angular del Cuerpo Rígido

2.1 Momento Angular del Cuerpo Rígido

Definición:

El momento angular de un sólido rígido, se define como el producto del momento de inercia por la velocidad angular. Es análogo al momento lineal y está sujeto a las restricciones del principio fundamental de la conservación del momento angular si no actúan pares externos sobre el objeto. El momento angular es una cantidad vectorial. Se deriva de la expresión del momento angular de una partícula. 

Podemos ejemplificarlo de la siguiente manera:

 

Por medio de un sistema de coordenadas tenemos:

 

Vamos a ver un ejemplo:

 

2.2 Impulsión Angular

2.2 Impulsión Angular

Ímpetu
La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial “kgm/s” que en mecánica clásica se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. Cuando se pretende distinguirlo del momento angular se le llama “momento lineal” 
 
Impulso angular

Es el producto del momento de una fuerza (M) por el tiempo que esta actuando. Es un vector de dirección y sentido igual al de M cuya formula seria

Mt=Iw M=Iw/t

Esto demuestra que es equivalente al momento angular
Se define como momento angular o momento de impulso L el producto 
 
L= m.Vt.r

Vt es la velocidad tangencial, m .a masa y r la distancia al centro atractor, se conserva si no hay fuerzas externas que ejerzan torque M=Ft.r.

Es una importante ley de conservación que ayuda a calcular las trayectorias en los campos centrales simétricos .Ejemplos de estos campos son el campo gravitatorio del sol sobre los planetas (si despreciamos la fuerza entre los propios planetas), el campo de atracción del núcleo atómico sobre los electrones, etc.

2.3 Conservación del Momento Angular

2.3 Conservación del Momento Angular

Tal y como ocurría en el caso del momento lineal, que adquiría su razón de ser en su teorema de conservación que permitía resolver de una forma sencilla, entre otros, gran parte de los problemas de choques, resultará de utilidad estudiar cómo es la evolución temporal del momento angular e intentar obtener algún teorema análogo que simplifique la resolución de problemas en los que el móvil no sigue una trayectoria rectilínea. Para ello se derivará el momento angular respecto al tiempo: 

El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante. 

Ejemplo:

 

Una esfera de 500 g de masa está atada a una cuerda de masa despreciable de 1 m de longitud y gira con una velocidad de 4 m·s^-1 en un plano horizontal en torno a un punto O, tal y como se indica en la figura. En un determinado momento, la cuerda comienza a enrollarse alrededor de dicho punto, disminuyendo con ello su longitud y por tanto el radio de giro. 

 

a) Calcula el momento angular inicial respecto al punto O. 

 

El momento angular viene dado por la expresión  . Sustituyendo los valores del enunciado:

b) El valor de la velocidad lineal (v) cuando se haya enrollado el 80% de la cuerda. 

Como las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en movimiento son de tipo central, su momento angular se conservará en el tiempo, y el momento angular en el instante inicial será igual al momento angular cuando se haya enrollado el 80% de la cuerda, momento en el que el radio de giro será 1·(1-0.8) = 0.2 m.

El momento angular inicial se ha calculado en el apartado a):

Y en el instante final:

Como según la conservación del momento angular:

Observa que, tal y como cabía esperar, al reducir el radio de giro debe de aumentar la velocidad de la esfera.