martes, 1 de diciembre de 2015

1.1 Momento angular de una partícula y de un sistema de partículas



Momento angular de una particula: 


     Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv.
Comprendiendo esto tenemos la ecuación siguiente:



y gráficamente lo podemos visualizar de esta forma:




     Sus unidades son: m2kg/s. El vector L es en cada instante perpendicular al plano formado por el vector posición y el vector velocidad; cuando la trayectoria es plana y el origen está contenido en el plano de la misma, L es perpendicular a dicho plano.


Ejemplo:

Sea una varilla de masa M y longitud L, que tiene dos esferas de masa m y radio r simétrica-mente dispuestas a una distancia d del eje de rotación que es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio de la misma:


Momento angular de un sistema: 
  
El momento angular de un sistema de partículas se obtiene sumando los momentos angulares de todas y cada una de las partículas que componen el sistema.


Por ejemplo cuando un solido rígido tiene movimiento de rotación alrededor de un eje, cada una de sus partículas describe un movimiento circular. El momento angular del solido respecto del eje de rotación será la suma de los momentos angulares de todas sus partículas. Se puede representar de forma ilustrativa en la siguiente figura:

Entonces tenemos que en el movimiento circular el momeno angular es constante y toma el valor maximo.




Ejemplo:
Un automóvil de 1500 kg se mueve en una pista circular de 50 m de radio con una rapidez de 40 m/s. Calcula el momento angular del automóvil respecto del centro de pista.

Solución:

En el movimiento circular, los vectores v forman un Angulo de 90º. En este caso, el modulo de momento angular será:
Dirección perpendicular al plano Oxy, y de sentido positivo.

1.2 Torque externo. Respecto al centro de masas y al sistema de laboratorio



Torque externo:
     Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. Se prefiere usar el nombre torque y no momento, porque este último se emplea para referirnos al momento lineal, al momento angular o al momento de inercia, que son todas magnitudes físicas diferentes para las cuales se usa el mismo término.

     Podemos utilizar una situación es la de una moneda que hacemos girar rápidamente cuando le aplicamos en forma simétrica un par de fuerzas en los bordes. En este caso, si nos hemos preocupado de aplicar dos fuerzas iguales en magnitud y dirección pero de sentidos opuestos sobre el borde de la moneda, esta rotara en torno a un eje imaginario que atraviesa el cuerpo. 
En estas operaciones intervinieron la fuerza aplicada y su brazo de acción: distancia entre el punto de aplicación y el eje de giro, que son los dos parámetros que contiene el concepto de torque.

Cuando existe un par de fuerzas que actúan sobre puntos distintos de un sólido rígido (que no sufre deformación), existe lo que se denomina un torque y su efecto genera una aceleración angular sobre el cuerpo. El torque con respecto a un origen arbitrario O, es el producto vectorial entre el vector posición que une el punto de referencia O con el punto P y la fuerza ~F:



Respecto al centro de masas
El movimiento en torno al centro de masa se describe mediante la ecuación general del movimiento angular para un sistema de partículas donde τc es el torque externo neto ejercido sobre el sistema, medido con respecto al centro de masa y H c es el momento angular del sistema con respecto al centro de masa. 

Ejemplo del Torque:
Una tabla uniforme de 60 N sostiene a dos niños que pesan 450N y 350 N, el soporte está justo en el centro de gravedad de la tabla y el niño de 450 N esta a 1,4 m del centro, determinar:
a) La fuerza ascendente que el soporte ejerce sobre la tabla.

b) Donde debe estar el niño para equilibrar la tabla. 
Fa = 450N + 60N + 350 NSt = 0
450 x 1,4 – 350 x = 0
X = 1,8 m

Una viga horizontal uniforme de 300 N y de 5 m de longitud esta fija en un muro por la unión de un perno que permite que la viga gire: Su extremo está sostenida por un cable que forma un ángulo de 53° con la horizontal (ver figura). Si la persona está de pie a 1,5 m del muro, calcular la tensión del cable, la fuerza que ejerce sobre la viga.
 
Solución:
En primer lugar se deben identificar todas las fuerzas externas que actúan sobre la viga. Aplicando la primera condición de equilibriotenemos:

S Fx = Fmx _ T cos 53° = 0
Fy = Fmy + T sen 53°  - 600N – 300N = 0

En las ecuaciones anteriores tenemos tres incógnitas, por lo tanto no podemos  encontrar las solución mediante la primera condición  de equilibrio por lo tanto usaremos ahora la segunda condición de equilibrio.

St = 0
St =  (T sen 53°)(5 m) – 300N) (2,5m)-(600 N) (1,5 m) = 0
T = 413 N, Fmx =249 N      Fmy =570 N

1.3 Segunda Ley de Newton de la Dinámica del Cuerpo Rígido


Cuerpo Rigido


Un  cuerpo rígido es aquél en el que la distancia entre cualquier par de puntos permanece constante, es decir, es un cuerpo ideal cuyas dimensiones no cambian bajo ninguna circunstancia.

La segunda ley de newton provee la clave para el análisis del movimiento translacional de un cuerpo rígido. Tomando en cuenta la velocidad translacional del centro de masa v de un cuerpo con masa m, la resultante de las fuerzas que actúan sobre dicho centro de masas y producen una aceleración esta dada por:


F = m v
  
La cantidad de movimiento también se conoce como momento lineal . Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en Kg·m/s . En términos de esta nueva magnitud física, la Segunda ley de Newton se expresa de la siguiente manera:

La Fuerza que actua sobre un cuerpo es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento de dicho cuerpo, es decir 


F = d p /dt

De esta forma incluimos también el caso de cuerpos cuya masa no sea constante. Para el caso de que la masa sea constante, recordando la definición de cantidad de movimiento y que como se deriva un producto tenemos: 


F = d(m· v )/dt = m·d v /dt + dm/dt · v

Como la masa es constante 

dm/dt = 0

y recordando la definición de aceleración, nos queda 


F = m a

tal y como habiamos visto anteriormente.

Otra consecuencia de expresar la Segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como Principio de conservación de la cantidad de movimiento . Si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es cero, la Segunda ley de Newton nos dice que: 


0 = d p /dt

es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo ( la derivada de una constante es cero ). Esto es el Principio de conservación de la cantidad de movimiento : si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo. 


Ejemplo:


Una fuerza F se ejerce directamente hacia arriba sobre el eje de la polea sin masa. Considere que la polea y el cable carecen de masa. Dos objetos, de masas m 1 = 1,2 kg m 2 = 1,9 kg, están unidos a los extremos opuestos del cable, el cual pasa por la polea. El objeto m 2 está en contacto con el piso. 

a) ¿Cuál es el valor más grande que la fuerza F puede tener de modo que m 2 permanezca en reposo sobre el piso?

b) ¿Cuál es la tensión en el cable cuando la fuerza F hacia arriba sea de 110 N? ¿Cuál es la aceleración de m 1 ?  


Solución:

Veamos el diagrama de cuerpo libre de la polea y de las dos masas. 




a) Para que m 2 permanezca en reposo sobre la superficie, debe ser mayor que m 1 . 
Fuerzas sobre m 2 :
m 1 g - T - N = 0 ,
pero N = 0 cuando está a punto de despegar. 

Luego: m 2 g - T = 0 (1) 
Fuerzas sobre m 1 :
T - m 1 g = m 1 a 1 (2),
donde es la aceleración con que sube . Aquí existe una aceleración, porque si la masa 2 tiene que estar en reposo y la cuerda es inextensible, obvio que la masa m1 se mueve. 

Fuerzas sobre la polea:
F - 2T = 0 (3) 

De la expresión (3) 
Reemplazando T en (1) queda
m 2 g - F/2 = 0 ; por lo tanto F = 2m 2 g (4) 

Reemplazando m 2 =1,9 kg y g=10m/s 2 queda F= 38N 

b) Calculo de la tensión del cable: 

Reemplazando F = 110 N en la expresión (3) :
110 - 2T = 0 , luego: T= 55N 

Calculo de a 1 : 

Reemplazando T , m 1 y g en (2) : 

55 - 12 = 1,2a 1 ,
luego : a 1 = 35,8 m/s 2 

1.4 Conservación del Movimiento Angular para un Sistema de Partículas



Sea un móvil sometido a la acción de una fuerza central. Las fuerzas centrales son aquellas que están siempre dirigidas hacia un punto fijo 2. Con muy buena aproximación las interacciones gravitatorias entre el Sol y los planetas y entre los planetas y sus satélites son centrales. Las fuerzas electrostáticas entre cargas puntuales son centrales. Por lo tanto el movimiento de cuerpos sometidos a fuerzas centrales es un problema muy importante. Veamos sus propiedades.
Si referimos la posición al centro de la fuerza, una fuerza central se expresa como Fr = F (aquí F puede ser positiva o negativa) o sea que r y F son siempre paralelas (Fig. 7.5). Si tomamos momentos respecto del centro de fuerzas, MrF =×=0 y entonces de la (7.14) obtenemos




Luego en todo movimiento que se realiza bajo la acción de una fuerza central se conserva el momento angular. Este hecho tiene varias importantes consecuencias que pasaremos a analizar.



En un movimiento bajo la acción de una fuerza central se conserva el momento angular respecto del centro de la fuerza.
 

2.1 Momento Angular del Cuerpo Rígido



Definición:

El momento angular de un sólido rígido, se define como el producto del momento de inercia por la velocidad angular. Es análogo al momento lineal y está sujeto a las restricciones del principio fundamental de la conservación del momento angular si no actúan pares externos sobre el objeto. El momento angular es una cantidad vectorial. Se deriva de la expresión del momento angular de una partícula. 
Podemos ejemplificarlo de la siguiente manera:


Por medio de un sistema de coordenadas tenemos:

Vamos a ver un ejemplo:



2.2 Impulsión Angular



Ímpetu
La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial “kgm/s” que en mecánica clásica se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. Cuando se pretende distinguirlo del momento angular se le llama “momento lineal”
 
 
Impulso angular

Es el producto del momento de una fuerza (M) por el tiempo que esta actuando. Es un vector de dirección y sentido igual al de M cuya formula seria


Mt=Iw M=Iw/t





Esto demuestra que es equivalente al momento angular
Se define como momento angular o momento de impulso L el producto
 
 
L= m.Vt.r

Vt es la velocidad tangencial, m .a masa y r la distancia al centro atractor, se conserva si no hay fuerzas externas que ejerzan torque M=Ft.r.

Es una importante ley de conservación que ayuda a calcular las trayectorias en los campos centrales simétricos .Ejemplos de estos campos son el campo gravitatorio del sol sobre los planetas (si despreciamos la fuerza entre los propios planetas), el campo de atracción del núcleo atómico sobre los electrones, etc.

2.3 Conservación del Momento Angular

Tal y como ocurría en el caso del momento lineal, que adquiría su razón de ser en su teorema de conservación que permitía resolver de una forma sencilla, entre otros, gran parte de los problemas de choques, resultará de utilidad estudiar cómo es la evolución temporal del momento angular e intentar obtener algún teorema análogo que simplifique la resolución de problemas en los que el móvil no sigue una trayectoria rectilínea. Para ello se derivará el momento angular respecto al tiempo: 


El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante. 


Ejemplo:

Una esfera de 500 g de masa está atada a una cuerda de masa despreciable de 1 m de longitud y gira con una velocidad de 4 m·s-1 en un plano horizontal en torno a un punto O, tal y como se indica en la figura. En un determinado momento, la cuerda comienza a enrollarse alrededor de dicho punto, disminuyendo con ello su longitud y por tanto el radio de giro. 
 
a) Calcula el momento angular inicial respecto al punto O. 
 
 

3.1 Ecuaciones del Movimiento de un Cuerpo rígido

Las ecuaciones del movimiento de un cuerpo rigido podemos clasificarlos en tres ecuaciones de los movimientos basicos entre ellos tenemos:

Ecuacion Traslacional:

Un cuerpo rígido lleva movimiento de Traslación cuando todo segmento rectilíneo del cuerpo se mantenga paralelo a su posición inicial a lo largo del movimiento.

Durante la Traslación, no hay movimiento angular (ω = α = 0); por tanto, todas las partes del cuerpo tienen la misma aceleración lineal a.

La Traslación sólo puede tener lugar cuando la recta soporte de la resultante de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el cuerpo pase por su cdm G.

En el caso de Traslación, con el origen del sistema de coordenadas xyz en el cdm G del cuerpo, las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a:

Ejemplo:
Calcula el momento angular de la Tierra respecto al centro del Sol, despreciando el  movimiento de rotación de la Tierra sobre si misma y considerando a la ́orbita de la Tierra como circular. Datos: MT= 6·1024kg; r orbita= 1, 5·108km

Solucion:

La velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol es:


Considerando a la Tierra y al Sol como objetos puntuales y suponiendo que la orbita de la Tierra es circular alrededor del Sol, entonces el vector de posición y el vector velocidad de la Tierra respecto al Sol son siempre perpendiculares. Por tanto, el momento angular de la Tierra respecto del Sol es un vector perpendicular al plano de la ́orbita del planeta, cuyo modulo es:

 

Ecuacion Rotacional:

Este tipo de movimiento plano se produce cuando todos los elementos de un cuerpo describen trayectorias circulares alrededor de un eje fijo. La figura representa un cuerpo rígido simétrico respecto al plano de movimiento, y que gira en tomo a un eje fijo que pasa por el cdm G del cuerpo:





Ejemplo:
Determine la inercia rotacional de una varilla de 4 m de largo y 2 Kg de mesa si su eje de rotación es:

a) Un extremo de la varilla
b) El centro de la varilla  

Solución:

a) Si el eje de rotación es un extremo de la varilla, la inercia rotacional está dada por I = /ML2
      Remplazando los valores, se tiene:


I = /•(2 Kg)•(4 m)/• (2 Kg) •(16 m2) = 10,66 Kgm2


b) Si el eje de rotación es el centro de la varilla, entonces, ahora se tiene que I = /12 ML

      Remplazando los valores, se tiene:


I = /12 •(2 Kg)•(4 m)/12 •(2 Kg)•(16 m)= 2,66 Kgm2





Ecuación de Plano General:

Para esta ecuacion podemos visualizar un cuerpo rigido como se presenta en la siguiente imagen en donde es sometido a un plano general, podemos asociar las ecuaciones anteriores, el cual determinamos que las ecuaciones que representan el plano general es la siguiente manera:













  

3.2 Energía Cinética de un Cuerpo rígido: Traslación y Rotación


     Se conoce como Energía Cinética a aquella que poseerá cualquier cuerpo como consecuencia de su movimiento.

La energía cinética es la labor imprescindible para precipitar un determinado cuerpo de una masa desde lo que se entiende como su descanso hasta la velocidad que alcanza, entonces, una vez lograda la activación cualquier cuerpo mantendrá su energía cinética siempre y cuando no modifique su velocidad. En tanto, para que el cuerpo regrese al estado de reposo será imprescindible un trabajo pero al revés del cuerpo, en sentido negativo de la energía cinética.


Se conoce como Energía Cinética a aquella que poseerá cualquier cuerpo como consecuencia de su movimiento.

La energía cinética es la labor imprescindible para precipitar un determinado cuerpo de una masa desde lo que se entiende como su descanso hasta la velocidad que alcanza, entonces, una vez lograda la activación cualquier cuerpo mantendrá su energía cinética siempre y cuando no modifique su velocidad. En tanto, para que el cuerpo regrese al estado de reposo será imprescindible un trabajo pero al revés del cuerpo, en sentido negativo de la energía cinética.

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Se conoce como Energía Cinética a aquella que poseerá cualquier cuerpo como consecuencia de su movimiento.

La energía cinética es la labor imprescindible para precipitar un determinado cuerpo de una masa desde lo que se entiende como su descanso hasta la velocidad que alcanza, entonces, una vez lograda la activación cualquier cuerpo mantendrá su energía cinética siempre y cuando no modifique su velocidad. En tanto, para que el cuerpo regrese al estado de reposo será imprescindible un trabajo pero al revés del cuerpo, en sentido negativo de la energía cinética.

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Se conoce como Energía Cinética a aquella que poseerá cualquier cuerpo como consecuencia de su movimiento.

La energía cinética es la labor imprescindible para precipitar un determinado cuerpo de una masa desde lo que se entiende como su descanso hasta la velocidad que alcanza, entonces, una vez lograda la activación cualquier cuerpo mantendrá su energía cinética siempre y cuando no modifique su velocidad. En tanto, para que el cuerpo regrese al estado de reposo será imprescindible un trabajo pero al revés del cuerpo, en sentido negativo de la energía cinética.

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Se conoce como Energía Cinética a aquella que poseerá cualquier cuerpo como consecuencia de su movimiento.

La energía cinética es la labor imprescindible para precipitar un determinado cuerpo de una masa desde lo que se entiende como su descanso hasta la velocidad que alcanza, entonces, una vez lograda la activación cualquier cuerpo mantendrá su energía cinética siempre y cuando no modifique su velocidad. En tanto, para que el cuerpo regrese al estado de reposo será imprescindible un trabajo pero al revés del cuerpo, en sentido negativo de la energía cinética.

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El movimiento general de un sólido rígido, es la composición de un movimiento de traslación del centro de masa y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa. En el movimiento de rodar sin deslizar, la rueda se traslada a la vez que gira.

Los movimientos de un cuerpo rigido se caracteriza por ser:

Movimiento de traslación:
Todos los puntos del sólido se mueven en trayectorias paralelas. La velocidad de un punto del sólido es la misma que la velocidad del centro de masas. 

Graficamente se representa de la siguiente manera:
 
Movimiento de Rotación:

En el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, la velocidad de un punto del sólido es proporcional la radio de la circunferencia que describe, y su dirección es tangente a dicha circunferencia.


Graficamente se representa de la siguiente forma:
Movimiento de traslación pura


Se presenta un movimiento de traslación pura cuando el cuerpo cambia de posición sin cambiar su orientación, es decir, todos los puntos del cuerpo sufren el mismo desplazamiento a medida que transcurre el tiempo. De acuerdo con la figura, la partícula A y el centro de masa C.M., han tenido el mismo desplazamiento; esta es la razón por la cual, cuando se analiza el movimiento de traslación, es suficiente considerar el movimiento del centro de masa del cuerpo. Es posible demostrar que el centro de masa, en lo que a traslación se refiere, se comporta como si toda la masa estuviera concentrada en dicho punto y como si todas las fuerzas externas actuaran sobre él.
Movimiento de rotación pura


Un cuerpo rígido posee un movimiento de rotación pura, cuando cambia su orientación mientras se mueve, de tal forma que todas las partículas que lo conforman describen trayectorias circulares con centro en el eje de rotación.

En estas condiciones, el centro de rotación permanece fijo respecto a un sistema de referencia fijo en tierra. Como se ilustra en la figura, mientras el cuerpo rota alrededor de un eje fijo que pasa por el punto O, las partículas i y j describen circunferencias concéntricas con centro en el eje que pasa por dicho punto.

Movimiento combinado de traslación y rotación


Un cuerpo rígido puede tener dos movimientos simultáneos uno de traslación y otro de rotación, es decir, el movimiento más general de un cuerpo rígido, se puede considerar como una combinación de traslación y rotación.

Lo anterior, permite encontrar un sistema de referencia en traslación, pero no rotante, respecto al cual el movimiento parezca solamente de rotación.

Como se observa en la figura, el movimiento del cuerpo al pasar de la posición (1) a la posición (2), se puede considerar como una traslación del centro de masa y una rotación alrededor de un eje que pasa a través del centro de masa. Este movimiento combinado, genera diferentes desplazamientos a las diferentes partículas que conforman el cuerpo rígido. Así, el desplazamiento del centro de masa es diferente al desplazamiento de la partícula A y en general se presenta esta situación para todas las partículas del cuerpo.



Se conoce como Energía Cinética a aquella que poseerá cualquier cuerpo como consecuencia de su movimiento.

La energía cinética es la labor imprescindible para precipitar un determinado cuerpo de una masa desde lo que se entiende como su descanso hasta la velocidad que alcanza, entonces, una vez lograda la activación cualquier cuerpo mantendrá su energía cinética siempre y cuando no modifique su velocidad. En tanto, para que el cuerpo regrese al estado de reposo será imprescindible un trabajo pero al revés del cuerpo, en sentido negativo de la energía cinética.

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3.3 Movimiento Giroscopio

Definición:


Un giroscopio (o giróscopo) es un dispositivo en el que el eje de rotación puede cambiar libremente de dirección. Un ejemplo se ilustra en la siguiente figura.
Si la rueda gira libremente alrededor del eje de simetría AB de forma que respecto a O el momento de fuerzas es nulo, entonces,


Si se mueve el giroscopio alrededor de una habitación el eje de simetría AB apuntará siempre en la misma dirección.
Si el eje del giroscopio se coloca de modo que AB sea horizontal y apunte en la dirección este-oeste, debido a la rotación terrestre el eje se inclinará y después de seis horas está en posición vertical.
Esta característica de los giroscopios a mantener su eje de rotación fijo, hace que tenga una gran aplicación como sistema de nivelación y estabilizador (en aviones, barcos y sondas espaciales).




Si el giroscopio ahora se encuentra apoyado en un extremo O entonces el momento de las fuerzas respecto O no es nulo y se tiene.


Si en primer lugar el eje se mantiene horizontal con la rueda desprovista de giro y se deja en libertad, entonces la rueda caerá girando alrededor de un eje horizontal que pasa por O.
Este giro se debe a que el momento de las fuerzas externas respecto a O no es nulo (debido al peso de la rueda), actuando en la dirección horizontal y. 




Inicialmente el momento angular es nulo al no haber rotación. Después de un cierto intervalo de tiempo se produce un cambio en éste que viene dado por:



Si en segundo lugar el eje se mantiene horizontal con la rueda provista de giro y se deja en libertad, entonces la rueda no caerá sino que el eje de rotación de la rueda se desplazará en el plano horizontal en la dirección del eje y, describiendo un movimiento circular. A este movimiento se le denomina precesión.

En este caso el momento angular inicial no es nulo, y tiene un valor igual a:


 


La variación del momento angular (en la dirección del momento de fuerzas) será en la dirección perpendicular a la del momento angular. Esto da lugar a que el momento angular cambie en dirección y no en módulo describiendo un movimiento circular.